Perfilado de sección

    1. Identificar y graficar las siguientes superficies cilíndricas en \(\mathbb{R}^{3}\):
      1. \(y^{2}+z^{2}=1\)
      2. \(y^{2}+4z^{2}=4\)
      3. \(x-y^{2}=0\)
      4. \(x^{2}-y^{2}=1\)
      5. \(z=\cos x\)
    2. Identificar y graficar las siguientes superficies cuádricas en $\mathbb{R}^{3}\):
      1. \(4x^{2}+9y^{2}+36z^{2}=36\)
      2. \(z=x^{2}+y^{2}\)
      3. \(z=x^{2}-y^{2}\)
      4. \(16y^{2}=x^{2}+4z^{2}\)
      5. \(x^{2}-y^{2}+z^{2}=1\)
      6. \(4z^{2}-x^{2}-y^{2}=1\)
      7. \(x^{2}-2x+y^{2}-4y+z^{2}=4\)
    3. Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de las siguientes superficies dadas en coordenadas cilíndricas y luego graficarlas: 
      1. \(r=3\)
      2. \(z=r^{2}\)
      3. \(r=4\sin\theta\)
    4. Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de las siguientes superficies dadas en coordenadas esféricas y luego graficarlas:
      1. \(\rho=3\)
      2. \(\rho=2\cos\phi\)
      3. \(\rho^{2}(\sin^{2}\phi\cos^{2}\theta+\cos^{2}\phi)=4\)
    5. Escribir las siguientes superficies en coordenadas cilíndricas y esféricas: 
      1. \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\)
      2. \(x^{2}+y^{2}=2z\)
      3. \(x^{2}+y^{2}=2y\)
      4. \(z=x^{2}-y^{2}\)
    6. Graficar los sólidos descriptos por las siguientes desigualdades: 
      1. \(r^{2}\le z\le2-r^{2}\)
      2. \(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\), \(r\le z\le2\)
      3. \(0\le\phi\le\frac{\pi}{3}\), \(\rho\le2\)
      4. \(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{6}\le\phi\le\frac{\pi}{4}\),
      5. \(0\le\rho\le4\)

      1. Dado el sólido comprendido en el interior del cilindro de ecuación \(x^{2}+y^{2}=1\) y entre los planos \(z=0\) y \(z=2\), describirlo en coordenadas cilíndricas.
      2. Dado el sólido ubicado en el primer octante e interior a la esfera de ecuación \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\), describirlo en coordenadas esféricas.
      3. Dado el sólido comprendido en el interior de la esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=z\) y en la parte superior del cono \(x^{2}+y^{2}=z^{2}\), describirlo en coordenadas esféricas.
    8. Graficar las siguientes funciones: 
      1. \(f(x,y)=3\)
      2. \(f(x,y)=1-x-y\)
      3. \(f(x,y)=x^{2}+9y^{2}\)
      4. \(f(x,y)=x\)
      5. \(f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
      6. \(f(x,y)=\sin y\)
      7. \(f(x,y)=3-x^{2}-y^{2}\)
    9. En los siguientes casos bosquejar un mapa de nivel considerando varias curvas de nivel:
      1. \(f(x,y)=\frac{x}{y}\)
      2. \(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)
      3. \(f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}\) 
    10. Supongamos que tenemos una placa delgada de metal localizada en el plano \(xy\), entonces \(T(x,y)\) es la temperatura en el punto \((x,y)\). Las curvas de nivel \(T\) son llamadas isotermas, pues en todos sus puntos la temperatura es la misma. Bosquejar algunas isotermas si la temperatura esta dada por: \[T(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+2y^{2}}.\]
    11. En los siguientes casos comprobar que el límite no existe:
      1. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{2xy}{x^{2}+2y^{2}}\)
      2. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{8x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\)
    12. En los siguientes casos comprobar que el límite no existe o demostrar que existe en el punto indicado:
      1. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(1,2)}\dfrac{3-x+y}{4+x-2y}\)
      2. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(4,\pi)}x^{2}\sin(\dfrac{y}{x})\)
      3. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\)
      4. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)}\dfrac{x}{2x+y}\)
      5. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)
      6. \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)\sqrt{\mid x^{2}-y^{2}\mid}}\)
    13. Dada la función \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}:f(x,y)=\frac{(y^{2}-x)^{2}}{x^{2}+y^{4}}\) si \((x,y)\ne0\), mostrar que para cualquier \(v\ne0,\,\lim_{t\rightarrow o}f(tv)=1\). Ver que no existe \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)\) evaluando la función sobre una curva conveniente.