Perfilado de sección

    1. Usar diferenciación implícita para calcular \(\frac{\partial z}{\partial x}\) y \(\frac{\partial z}{\partial y}\):
      1. \(xy+yz=xz\)
      2. \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=2x(x+z)\)
      3. \(xyz=\cos(x+y+z)\)
    2. Usar la regla de la cadena para calcular \(\frac{dz}{dt}\) en los siguientes casos:
      1. \(z=yx^{2}+xy^{2},x=2+t^{4},y=1-t^{3}\),
      2. \(z=\sin x\cos y,x=\pi t,y=\sqrt{t}\),
      3. \(z=xe^{\frac{y}{w}},x=t^{2},y=1-t,w=1+2t\),
      4. \(z=xy+yw^{2},x=e^{t},y=e^{t}\sin t,w=e^{t}\cos t\).
    3.  Usar la regla de la cadena para calcular \(\frac{\partial z}{\partial s}\) y \(\frac{\partial z}{\partial t}\):
      1. \(z=x^{2}+xy+y^{2},x=s+t,y=st\),
      2. \(z=\sin x\tan y,x=3s+t,y=s-t\),
      3. \(z=e^{x\theta},x=s+2t,\theta=\frac{s}{t}\).

    4. }Un tanque de agua de forma cilíndrica como se muestra en la figura se está vaciando con un caudal de 5 litros/min , ¿Cuál es la velocidad con la que está disminuyendo la altura del nivel de agua?

    5. Un tanque de forma cónica como se muestra en la figura se está vaciando con un caudal de 5 litros/min. Se desea saber cuál es la velocidad con la que disminuye el nivel de agua cuando el mismo tiene 1 metro (Volumen del cono truncado \(V=\dfrac{\pi(R^{2}+r^{2}+Rr)h}{3}\).


    6. Un tanque de forma esférica como se muestra en la figura se está vaciando con un caudal de 5 litros/ min. Se desea saber cuál es la velocidad con la que disminuye el nivel de agua cuando este es de 1,2 metros. (Volumen de la esfera \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\).

    7. Un tanque de forma cónica (como se muestra en la figura del problema 5) se está vaciando con un caudal que es función de la altura de nivel de agua siguiendo la relación de \(Q=h^{2}\), dada la altura en metros y el caudal (\(Q\)) dado en litros/minuto. Tener en cuenta que existe una evaporación del agua superficial de 1 litro / hora \(m^{2}\). Se desea saber cuál es la velocidad con la que disminuye el nivel de agua cuando éste es de 1,2 metros.

    8. Averiguar la aceleración de una partícula del líquido a la mitad del embudo, sabiendo que el radio mayor es de \(0.5\) m y radio menor es de \(0.2\) m, y posee una longitud de \(0.4\) m. El caudal de entrada y de salida es de \(20\) litros/seg. (Sugerencias: \( a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dx}{dt};\, v=\frac{Q}{area}=\frac{dx}{dt};\, R(x)=r+(0,4-x)\tan\alpha \).