Perfilado de sección

    1. Calcular, utilizando la definición, la derivada direccional de \(f\) en el punto \(X_{0}\) en la dirección del vector unitario \(u\), en los siguientes casos:
      1. \(f(x,y)=x-y,X_{0}=(0,0),u=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\).
      2. \(f(x,y,z)=x^{2}-yz,X_{0}=(1,1,1),u=(1,0,0)\).
    2.  En los siguientes casos, calcular el vector gradiente y evaluarlo en el punto \(P\). Luego, calcular la derivada en el punto \(P\) en la dirección de \(u\).
      1. \(f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy,\, P=(2,1),\,u=(1,3)\).
      2. \(f(x,y)=xy, \,P=(1,3), \,u=(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{-1}{\sqrt{5}})\).
      3. \(f(x,y)=xe^{xy}, \,P=(1,1), \,u=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\).
      4. \(f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}, \,P=(1,0,0), \,u=(0,0,1)\).
    3. Probar que si \(v\) es un vector de norma \(1\) y \(f\) es diferenciable en \(x_{0}\), entonces \(D_{v}f(x_{0})=\|\nabla f(x_{0})\|cos\theta\), siendo \(\theta\) el ángulo formado por los vectores \(v\) y \(\nabla f(x_{0})\) (recordar que \(\frac{xy}{\|x\|\|y\|}=\cos\theta\), con \(\theta\) el ángulo formado entre los vectores \(x\) e \(y\)). Probar que \(D_{v}f(x_{0})\) es máxima cuando \(v=\frac{\nabla f(x_{0})}{\|\nabla f(x_{0})\|}\).
    4.  Sea \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \(f(x,y,z)=x^{2}-2xy+z^{3}\) y \(x_{0}=(1,-1,2)\). ¿En qué dirección es máxima la derivada direccional? ¿Cuál es ese valor máximo?
    5. La productividad de una empresa depende del capital invertido y de la cantidad de mano de obra (horas-hombre). Se estableció la siguiente fórmula empírica que describe la situación: \[p(c,h)=8c^{2}-24ch+h^{2}\] Si se lleva invertido \(5000\) y la cantidad actual de horas hombres semanales es de 3000, y tengo cierto dinero disponible, ¿Dónde conviene invertir? ¿En contratar más obreros, o en capital de la empresa?
    6. Un insecto se halla en un ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por: \[T(x,y)=2x^{2}-4y^{2}\] El insecto está en (-1; 2). 
      1. ¿En qué dirección deberá moverse el insecto para que se aleje lo más rápido posible de la toxicidad?
      2. En la curva de nivel apropiada, ubique y dibuje el vector gradiente en el punto dado.
      3. ¿Cuál es la razón de cambio de la toxicidad del ambiente en el punto (-1,2) en la dirección (-1,2)?
    7. La temperatura de cada una de los puntos de una placa cuadrada viene determinada por la función \(T(x,y)=(x-1)^{3}+(y-2)^{2}\) . Se desea conocer cuáles son, en el punto \((0,0)\), las direcciones de mayor crecimiento y decrecimiento de la temperatura.
    8. La altura de una montaña está dada por la función \(z(x,y)=2e^{-x^{2}}+e^{-3y^{2}}\) ¿En qué dirección desde el punto (1, 0) deberíamos comenzar a caminar para escalar lo más rápido posible?