Perfilado de sección

    1. Encontrar puntos críticos y extremos relativos para: 
      1.   \(f(x,y)=x-x^{2}-y^{2} \)
      2.  \(f(x,y)=(x+1)(y-2) \) 
      3. \(f(x,y)=x^{3}+3xy^{2}-15x-12 \) 
      4. \(f(x,y)=e^{x}\cos y \)
      5.  \(f(x,y)=xy(1-x-y) \)
    2. Encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de \(f\) sobre el conjunto \(D\):
      1. \(f(x,y)=5-3x+4y\), y \(D\) es la región triangular con vértices \((0,0), \,(4,0)\) y \((4,5) \) 
      2. \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4\), y \(D=\left\{(x,y):|x|\le1,|y|\le1\right\} \) 
      3. \(f(x,y)=1+xy-x-y\), y \(D\) es la región comprendida entre la parábola \(y=x^{2}\) y la recta \(y=4 \) 
      4. \(f(x,y)=2x^{3}+y^{4}\), y \(D=\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le1\right\} \)
    3. Hallar tres números positivos \(x,\,y,\,z\) cuya suma sea \(100\) y su producto \(xyz\) sea máximo.

    4. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque. 

    5. Un edificio rectangular está siendo diseñado para minimizar la pérdida de calor. Las paredes este y oeste pierden calor a razón de 10 unidades/\(m^{2}\) por día, las paredes norte y sur a razón de 8 unidades/\(m^{2}\) por día, el piso a razón de 1 unidad/\(m^{2}\) por día y el techo a 5 unidades/\(m^{2}\) por día. Cada pared debe medir al menos 30 m de largo, la altura debe ser de al menos 4 m y el volumen debe ser exactamente de 4000 \(m^{3}\). 

      1. Encuentre y trace el dominio de la pérdida de calor como función de las longitudes de los lados.
      2. Encuentre las dimensiones que minimicen la pérdida de calor. (Verifique los puntos críticos y los puntos frontera del dominio)
      3. ¿Podría diseñar un edificio con incluso menos pérdida de calor, si las restricciones de las longitudes de las paredes se eliminaran?

    6. En una habitación de 10 m de ancho por 8 m de largo se encuentran ubicados dos calefactores: el calefactor 1 de 5000 calorías se encuentra ubicado en el punto \((2,0)\), y el calefactor 2 de 3000 calorías se encuentra ubicado en el punto \((10,3)\). La temperatura en la habitación está dada por la siguiente ecuación:\[T=\dfrac{5000}{d_{1}+1}+\dfrac{3000}{d_{2}+1}\] siendo \(d_{1}\) y \(d_{2}\) las distancias a cada uno de los calefactores (recordar fórmula de distancia \(d=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}\).

      1. Si me muevo del punto \((8,7)\) en dirección al punto \((3,3)\) con una velocidad de \(2m/s\). ¿Cuál es la velocidad del cambio de T?
      2. ¿En qué dirección me tengo que mover para que el aumento de T sea máximo?

      3. Encontrar la temperatura máxima y mínima de la habitación.

    7. Un niño se encuentra en una habitación jugando con un globo. En la misma hay un calefactor ubicado en el punto \((8,8,0)\). El volumen del globo cuando el niño se encuentra en el punto \((1,2,5)\) es de 5 \(dm^{3}\). Considerando que

          • El volumen del globo está dado por \(V=\dfrac{kmT}{p}\) (\(k,m\) ctes.).

          • La presión \(p\) está dada por \(p=p_{0}+\dfrac{1}{10}z\), siendo \(p_{0}\) la presión a la altura del piso. 

          • La Temperatura \(T\) está dada por \(T=\dfrac{40}{d^{2}+1}\), siendo \(d\) la distancia al calefactor. 

    Evaluar como varía el volumen del globo cuando el chico lo desplaza hacia el punto \((3,4,4)\) en un tiempo de 10 segundos y siguiendo una trayectoria rectilínea con velocidad constante. Calcular esa variación en el punto medio de dicha trayectoria.