Perfilado de sección

    1. Un boomerang está limitado por las siguientes ecuaciones (ver gráfico), y su densidad varía según la función \(\rho=1+2x\), Averiguar: 

      1. masa
      2. centro de masa
      3. momento de inercia

    2. Calcular el área total de la superficie de un granero (techo, paredes, y piso) considerando: Techo: \(z=5-\frac{y^{2}}{5}\) paredes \(x=0\), \(x=4\) piso \(z=0\)


    3.  

      1. Calcular el centro de masa y momento de inercia de la figura formada por la esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=6\) con densidad \(\rho=7\) y el paraboloide a \(z=x^{2}+y^{2}\) , con densidad \(\rho=5\). Considere que el límite entre las distintas densidades es el plano de intersección entre el paraboloide y la esfera.


      2. Calcular el área exterior del trompito



    4. Calcular el centro de masa y centro de flotación para el siguiente barco, sabiendo que la densidad de la parte inferior sigue la fórmula \(\rho=400\) \(kg/m^{3}\) , y la densidad de la parte superior (en gris) es de \(\rho=2000\) \(kg/m^{3}\) . ¿A qué altura respecto al fondo del barco se encuentra la línea de flotación? Considere la densidad del agua como 1000 \(kg/m^{3}\)s


    5. Calcular el área de las siguientes superficies

      1. Región determinada entre el plano \(x+y+z=1\) y el cilindro \( x^{2}+y^{2}=1 \). 


      2. Porción de la esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) cortada por el cilindro \(x^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\). 

      3. Porción de la esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) comprendida entre los planos \(z=\frac{\sqrt{2}}{2}\) y \(z=-\frac{\sqrt{2}}{2}\). 

      4. Porción del cilindro \(z^{2}+x^{2}=25\) en el cilindro \(x^{2}+y^{2}=25\). 


    6. El borde exterior de una escalera de caracol tiene forma de una hélice de 2 metros de radio. La ltura de la escalera es 2 metros y gira tres cuartos de una revolución completa de abajo a arriba. 

      1. Hallar una función vectorial para la hélice. 
      2. Hallar la longitud de la hélice.