Perfilado de sección

    1. Calcular la integral de línea \(\int_{C}F.dr\) sobre la curva indicada:
      1. \(F(x,y)=(y,x);\Gamma=\{(t,t^{2}):t\in[0,1]\}\).
      2. \(F(x,y)=(\cos x-y\sin x)e_{1}+(\cos x)e_{2};\) en el triángulo con vértices \((0,2),(2,3)\) y \((1,4)\) recorrida en el sentido inverso a las agujas del reloj.
      3. \(F(x,y,z)=(x,y,xz-y)\); sobre el segmento que va desde el punto \((0,0,0)\) hasta el punto \((1,2,4)\).
      4. \(F(x,y,z)=(x^{2},xy,z^{2})\); sobre la curva dada por \(r(t)=(\sin t,\cos t,t^{2})\) con \(t\in[0,1]\).

    2. El campo de fuerzas \(\overrightarrow{F}(x,y)=(x+y)\textbf{i}+x^{2}+1)\textbf{j}\) actúa sobre un objeto que se mueve desde el origen al punto \((0,1)\). 

      1. Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria \( x=0, \) \(0\leq y\leq1\).

      2. Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria 

        \(x=y-y^{2}\) , \( 0\leq y\leq1\ \).

      3. Supóngase que el objeto sigue la trayectoria \(x=c(y-y^{2})\), \(0\leq y\leq1\) , \(c>0\). Hallar el valor de la constante c que minimiza el trabajo.

    3. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas \(F(x,y,z)=(zy,xz,xy)\) para mover una partícula a lo largo de la curva \(r(t)=(t^{2},-t^{3},t^{4})\) desde \(t=0\) a \(t=1\).