Perfilado de sección

    1. Sean \(u,v\) \(:D\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3},\alpha\in\mathbb{R}\). Mostrar que:
      1. \(div(u+v)=div\) \(u+div\) \(v\).
      2. \(div(\alpha.v)=\alpha.div\) \(v\)
    2. Si \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\) es una función escalar y \(v:U\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}\), probar que \(div(f.v)=f.div(v)+\nabla f\cdot v\)
    3. Se define el Laplaciano de una función escalar \(f\) como \(\nabla^{2}f=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}.\)
      1. Probar que \(\nabla^{2}f=div(\nabla f).\)
      2. Probar que \(div(f\nabla f)=f\nabla^{2}f+\Vert\nabla f\Vert^{2}.\)
    4. Hallar el rotacional de \(v(x,y,z)=xy.e_{1}+xz.e_{2}+z.e_{3}\)
    5. Sean \(u,v\) \(:D\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3},\alpha\in\mathbb{R}\). Mostrar que: 
      1. \(rot(u+v)=rot(u)+rot(v)\).
      2. \(rot(\alpha.v)=\alpha.rot(v)\)
    6. Sea \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\) es una función escalar y \(v:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}\). Notaremos con \(\nabla f\) al gradiente de la función \(f\). Demostrar que \(rot(fv)=f.rot(v)+\nabla f\times v\)
    7. Demostrar: 
      1. \(rot(\nabla f)=0\)
      2. \(div(rot(v))=0\)
    8. Sea \(v\) un campo en \(\mathbb{R}^{3}\), \(v=(v_{1},v_{2},v_{3})\). Definimos \(\nabla^{2}v=(\nabla^{2}v_{1},\nabla^{2}v_{2},\nabla^{2}v_{3})\). Demostrar que \(rot(rot(v))=\nabla(div(v))-\nabla^{2}v.\)