Perfilado de sección

    1. Calcular utilizando el teorema de Green, donde \(C\) se considera positivamente orientada:
      1. \(\int_{C}3y\) \(dx+5x\) \(dy\), \(C:x^{2}+y^{2}=1.\)
      2. \(\int_{C}xy\) \(dx+2x^{2}\) \(dy\), donde \(C\) consiste en el segmento que une los puntos \((-2,0)\) y \((2,0)\) y la parte superior del círculo \(x^{2}+y^{2}=4\).
      3. \(\int_{C}(e^{x}\sin y)\) \(dx+(e^{x}\cos y)\) \(dy\), \(C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.\)
      4. \(\int_{C}F.dr\), donde \(F(x,y)=(y^{2},x^{2})\) y \(C\) es el segmento que une los puntos del \((1,1)\) al \((0,0)\) seguido del arco de la parábola \(y=x^{2}\) desde \((0,0)\) al \((1,1)\).
      5. \(\int_{C}F.dr\), donde \(F(x,y)=(y^{2}-x^{2}y,xy^{2})\) y \(C\) consiste en el círculo \(x^{2}+y^{2}=4\) desde \((2,0)\) al \((\sqrt{2},\sqrt{2})\) y los segmentos de recta desde el \((\sqrt{2},\sqrt{2})\) al \((0,0)\) y desde el \((0,0)\) al \((2,0)\).
    2. Verificar el teorema de Green, donde $C$ se considera positivamente orientada:
      1. \(\int_{C}x^{5}y^{4}\) \(dx-x^{4}y^{5}\) \(dy\), \(C:x^{2}+y^{2}=1.\)
      2. \(\int_{C}x\) \(dx+x^{3}\) \(dy\), donde \(C\) consiste en el segmento que une los puntos \((-3,0)\) y \((3,0)\) y la parte inferior del círculo \(x^{2}+y^{2}=9\).
    3. Comprobar el teorema de Stokes sobre el triángulo de vértices \( (2,0,0);(0,2,0);(0,0,2) \) para:
      1. \(v(x,y,z)=2z.e_{1}-y.e_{2}+x.e_{3}\).
      2. \(v(x,y,z)=z^{2}.e_{1}-4x.e_{2}+y^{3}.e_{3}\).
    4. En los siguientes casos utilizar el teorema de Stokes para calcular \(\iint_{S}rot\) \(F.ds\).
      1. \(F(x,y,z)=yz\) \(\textbf{i}+xz\) \(\textbf{j}+xy\) \(\textbf{k}\) y \(S\) es la parte del paraboloide \(z=9-x^{2}-y^{2}\) que está por encima del plano \(z=5\).
      2. \(F(x,y,z)=x\) \(\textbf{i}+y^{2}z\) \(\textbf{j}+z\) \(\textbf{k}\) y \(S\) es la parte de la semiesfera \(x=\sqrt{9-y^{2}-z^{2}}\) que está dentro del cilindro \(y^{2}+z^{2}=4\).
    5. Verificar el teorema de Stokes en los siguientes casos: 
      1. Sobre la mitad superior de la esfera unidad \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) para \(v(x,y,z)=x.e_{1}+y.e_{2}+z.e_{3}\)
      2. Sobre el cuadrado de vértices \((0,0,0)\), \((1,1,0)\), \((0,0,\sqrt{2})\) y \((1,1,\sqrt{2})\) y el campo vectorial \(F(x,y,z)=(ze^{-y},z,y)\).
    6. Utilizar el teorema de Stokes para evaluar \(\int_{C}F.dr\) donde \(F(x,y,z)=(x^{2}z,xy^{2},z^{2})\) y \(C\) es la curva de intersección del plano \(x+y+z=1\) con el cilindro \(x^{2}+y^{2}=9\) orientado en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba.
    7. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial dado por \(F(x,y,z)=(y+z)\textbf{i}+(x^{2}+z^{2})\textbf{j}+y\textbf{k}\) y para la superficie \(S=\{(x,y,z):x^{2}+z^{2}=4,z\leq0,0\leq y\leq3\}\).
    8. Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar la integral de superficie \(\iint_{\partial W}F.ds\) donde \(W\) es la bola maciza definida por \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1\) en los siguientes casos:
      1. Cuando \(F(x,y,z)=2x\textbf{i}+y^{2}\textbf{j}+z^{2}\textbf{k}\).
      2. Cuando \(F(x,y,z)=(x,1,1)\).
    9. Comprobar el teorema de la divergencia para el caso en que \( F(x,y,z)=(xy^{2},x^{2}y,y) \) y \(S\) es la superficie que bordea al sólido comprendido entre el cilindro \(x^{2}+y^{2}=1\) y los planos \(z=-1\) y \(z=1\).
    10. Comprobar el teorema de la divergencia en los siguientes casos: 
      1. Sobre la bola unidad \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1\) para el campo vectorial \(v(x,y,z)=x.e_{1}+y.e_{2}+z.e_{3}\).
      2. Sobre la parte del cono \(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) que se halla entre los planos \(z=1\) y \(z=4\) para el campo \(F(x,y,z)=(x^{2},y^{2},z^{2}).\)
    11. Calcular el flujo saliente del campo \(F=-3\textbf{k}\) a través de la superficie del cono invertido (sólo a través de la parte cónica), usando el teorema conveniente.